Dreikörperproblem – analytische Spezialfälle

• Lineare Anordnung (Euler, 1767)

• gleichseitiges Dreieck (Lagrange, 1772)

• restringiert: Masse einer der Körper für die Bewegung der beiden primären Massen vernachlässigbar
  • zirkulär
  • elliptisch
  Betrachtung in mitrotierendem Bezugssystem → Lagrangepunkte

Methoden

• Freiheitsgrade reduzieren durch Ausnutzen von Erhaltungsgrößen
  (s. Hamilton-Jacobi-Formalismus)
• Störungsrechnung
• Umgang mit Singularitäten
  • Regularisierung von Zweikörperkollisionen
  • Beschränken auf Anfangsbedingungen die keine Kollisionen zulassen (keine Dreikörperkollision für nicht-verschwindenden Gesamtdrehimpuls)

Numerische Methoden

triviale Verallgemeinerung auf \(n\)-Körpersysteme

natürlicher Ansatz: numerische Integration der Bewegungsgleichungen

Ein (explizites) Integrationsverfahren i.A. gegeben durch eine Abbildung \[ \Phi \colon (q^{(k)}, p^{(k)}) \longmapsto (q^{(k+1)}, p^{(k+1)}) \] z.B. explizites Euler-Verfahren: \[ q^{(k+1)}_i = q^{(k)}_i + \frac{\partial \mathcal{H^{(k)}}}{\partial p_i} \Delta t \\ \] \[ p^{(k+1)}_i = p^{(k)}_i - \frac{\partial \mathcal{H^{(k)}}}{\partial q_i} \Delta t \]

Wahl des Verfahrens

• naive Wahl: explizites Eulerverfahren
• ,,go to” für gewöhnliche DGL häufig Runge-Kutta (z.B. 4.Ordnung)

Was sind unsere Anforderungen?

Runge-Kutta-Verfahren bei Keplerproblem (Abb. 4 Springel, 2005)

• numerische Stabilität (Grundvorraussetzung)
• geringer Diskretisierungsfehler (Genauigkeit) Euler-Verfahren ist \(\mathcal{O}(\Delta t)\), RK4 ist \(\mathcal{O}(\Delta t^4)\)
• Aufrechterhaltung von Invarianten des Systems:
  • naheliegend: Erhaltung von Konstanten der Bewegung wie Energie, Impuls, Drehimpuls, Laplace-Runge-Lenz-Vektor, …
  • subtiler: Zeitumkehrinvarianz, Symplektizität
• Effizienz (langen Integration oder viele Teilchen)

Symplektizität

geometrische Invariante von Hamiltonschen Systemen:

Erhaltung von Phasenraumvolumen unter Zeitentwicklung (Liouville-Theorem)

• Hamiltonschen Bewegungsgleichungen \[\dot{q}_i = \{q_i, \mathcal{H}\} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \qquad \dot{p}_i = \{p_i, \mathcal{H}\} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}\] können dann geschrieben werden als \[\dot{\vec{z}} = J^{-1} \nabla_\vec{z} \mathcal{H}\] mit der Blockmatrix \(J = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ -\mathbb{1} & 0 \end{pmatrix}\)
• Abbildung \(\Phi: \mathbb{R}^{2n}\longrightarrow \mathbb{R}^{2n}\) heißt symplektisch, wenn ihre Jacobi-Matrix \((D_\Phi)_{ij} = \frac{\partial \Phi_i}{\partial z_j}\) \[ {D_\Phi}^{T} J {D_\Phi} = J \] (überall) erfüllt.

Symplektische Integratoren

Der symplektische ,,Klassiker”: Leapfrog-Verfahren (Kick-Drift-Kick-Form)

für Systeme mit kinetischer Energie der Form \(p^2/2m\) und potentieller Energie \(U(q)\).

\[ p_i^{(k+½)} = p_i^{(k)} - \dfrac{\Delta t}{2} \frac{\partial U^{(k)}}{\partial q_i} \] \[ q_i^{(k+1)} = q_i^{(k)} + \Delta t \: p_i^{(k+½)} \] \[ p_i^{(k+1)} = p_i^{(k+½)} - \dfrac{\Delta t}{2} \frac{\partial U^{(k+1)}}{\partial q_i} \]

Praxis

• symplektische Integratoren höherer Ordnung

• z.T. auf spezielle physikalische Systeme zugeschnitten, z.B. hierarchische

• adaptive & individuelle Zeitschritte:

  Genauigkeit da wo es zählt, d.h. bei Annäherung von Massen und sich schnell ändernden Beschleunigungen

DKD- vs. KDK-Leafrog mit adaptiven Zeitschritten (Abb. 5 Springel, 2005)

numerische Stabilitätsanalyse von Trajektorien

• wähle geignete Stabilitätskriterien: z.B. maximale Entfernung vom Schwerpunkt

• simuliere Ensembles von Konfigurationen für große Zeiten

• Auswertung: Statistik über Erfüllung der Stabilitätskriterien

  → Regressionsmodelle für Stabilität in Abhängigkeit von Bahnparametern etc.

Quellen

• Z.E. Musielak & B. Quarles, The three-body problem, Rep. Prog. Phys., Volume 77 (2014)
• V. Springel, The cosmological simulation code GADGET-2, Mon. Not. R. Astron. Soc., Volume 364, Issue 4 (2005)
• J.E. Marsden & M. West, Discrete mechanics and variational integrators, Acta Numer., Volume 10 (2001)
• F. Busetti et al, Stability of planets in triple star systems, Astron. Astrophys., Volume 619 (2018)
• E. Hairer et al, Geometric Numerical Integration, Springer-Verlag Berlin, Second Ed. (2006)
• Z.E. Musielak et al, Stability of planetary orbits in binary systems, Astron. Astrophys., Volume 434 (2005)